Wiki

Bất đẳng thức hoán vị

Trong toán học, bất đẳng thức hoán vị là:

Cho hai dãy số thực (





x

n




{displaystyle x_{n}}

),(





y

n




{displaystyle y_{n}}

),(n∈N) thỏa mãn:





x

1




x

2






x

n




{displaystyle x_{1}geq x_{2}geq cdots geq x_{n}}





y

1




y

2






y

n




{displaystyle y_{1}geq y_{2}geq cdots geq y_{n}}

Với mỗi hoán vị (





z

1


,

z

2


,
.
.
.
,

z

n




{displaystyle z_{1},z_{2},…,z_{n}}

) của (





x

1


,

x

2


,
.
.
.
,

x

n




{displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n}}

) ta có:





x

1



y

1


+

x

2



y

2


+
.
.
.
+

x

n



y

n




z

1



y

1


+

z

2



y

2


+
.
.
.
+

z

n



y

n




x

n



y

1


+

x

n

1



y

2


+
.
.
.
+

x

1



y

n




{displaystyle x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+…+x_{n}y_{n}geq z_{1}y_{1}+z_{2}y_{2}+…+z_{n}y_{n}geq x_{n}y_{1}+x_{n-1}y_{2}+…+x_{1}y_{n}}

Đẳng thức xảy ra khi một trong 2 dãy là “dừng”, hoặc (





z

1


,

z

2


,
.
.
.
,

z

n




{displaystyle z_{1},z_{2},…,z_{n}}

) đồng bậc với (





x

1


,

x

2


,
.
.
.
,

x

n




{displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n}}

) hoặc (





x

n


,
.
.
.
,

x

2


,

x

1




{displaystyle x_{n},…,x_{2},x_{1}}

)

Hệ quả: Cho dãy số thực (





x

n




{displaystyle x_{n}}

),(n∈N) và (





z

1


,

z

2


,
.
.
.
,

z

n




{displaystyle z_{1},z_{2},…,z_{n}}

) là một hoán vị của (





x

1


,

x

2


,
.
.
.
,

x

n




{displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n}}

), ta có:

1/







x

1




2


+



x

2




2


+
.
.
.
+



x

n




2




x

1



z

1


+

x

2



z

2


+
.
.
.
+

x

n



z

n




{displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+…+{x_{n}}^{2}geq x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+…+x_{n}z_{n}}

2/







z

1



x

1




+



z

2



x

2




+
.
.
.
+



z

n



x

n





n


{displaystyle {frac {z_{1}}{x_{1}}}+{frac {z_{2}}{x_{2}}}+…+{frac {z_{n}}{x_{n}}}geq n}

Chứng minh


Bất đẳng thức đã cho tương đương với:





y

1


(

x

1




z

1


)
+

y

2


(

x

2




z

2


)
+

y

3


(

x

3




z

3


)
+
.
.
.
+

y

n


(

x

n




z

n


)

0


{displaystyle y_{1}(x_{1}-z_{1})+y_{2}(x_{2}-z_{2})+y_{3}(x_{3}-z_{3})+…+y_{n}(x_{n}-z_{n})geq 0}

.

Theo khai triển Abel ta có:





y

1


(

x

1




z

1


)
+

y

2


(

x

2




z

2


)
+

y

3


(

x

3




z

3


)
+
.
.
.
+

y

n


(

x

n




z

n


)


{displaystyle y_{1}(x_{1}-z_{1})+y_{2}(x_{2}-z_{2})+y_{3}(x_{3}-z_{3})+…+y_{n}(x_{n}-z_{n})}




=
(

y

1




y

2


)
(

x

1




x

2


)
+
(

y

2




y

3


)
(

x

1


+

x

2




z

1




z

2


)
+
(

y

3




y

4


)
(

x

1


+

x

2


+

x

3




z

1




z

2




z

3


)


{displaystyle =(y_{1}-y_{2})(x_{1}-x_{2})+(y_{2}-y_{3})(x_{1}+x_{2}-z_{1}-z_{2})+(y_{3}-y_{4})(x_{1}+x_{2}+x_{3}-z_{1}-z_{2}-z_{3})}




+
.
.
.
+
(

y

n

1




y

n


)
(

x

1


+

x

2


+
.
.
.
+

x

n

1




z

1




z

2



.
.
.


z

n

1


)
+

y

n


(

x

1


+

x

2


+
.
.
.
+

x

n




z

1




z

2



.
.
.


z

n


)


{displaystyle +…+(y_{n-1}-y_{n})(x_{1}+x_{2}+…+x_{n-1}-z_{1}-z_{2}-…-z_{n-1})+y_{n}(x_{1}+x_{2}+…+x_{n}-z_{1}-z_{2}-…-z_{n})}

.

Do





x

1




x

2



.
.
.


x

n




{displaystyle x_{1}geq x_{2}geq …geq x_{n}}





y

1




y

2



.
.
.


y

n




{displaystyle y_{1}geq y_{2}geq …geq y_{n}}

nên tổng trên luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button