Wiki

Phương pháp Euler

Đối với tích phân theo đặc trưng Euler, xem Tích phân, vi phân Euler. Đối với Phương pháp Euler cho việc hệ số hóa số nguyên, xem Phương pháp hệ số hóa Euler.

Minh họa phương pháp Euler. Đường cong chưa biết có màu xanh da trời và lời giải gần đúng của nó là đường nhiều cạnh màu đỏ.

Trong toán học và khoa học máy tính, phương pháp Euler là một phương pháp số bậc một để giải các phương trình vi phân thường (ODEs) với giá trị ban đầu cho trước. Nó là phương pháp hiện (explicit) cơ bản nhất cho việc tính tích phân số của các phương trình vi phân thường và là phương pháp Runge-Kutta đơn giản nhất. Phương pháp Euler được đặt theo tên của Leonhard Euler, người đã đề cập đến phương pháp này trong cuốn sách Institutionum calculi integralis của ông (xuất bản 1768-1770).

Phương pháp Euler là một phương pháp bậc một, có nghĩa là sai số cục bộ (sai số mỗi bước) tỷ lệ thuận với bình phương của kích thước bước, và sai số tổng thể (sai số tại một thời điểm nào đó) tỷ lệ thuận với kích thước bước. Phương pháp Euler thường phục vụ như là cơ sở để xây dựng các phương pháp phức tạp hơn, ví dụ như, phương pháp Dự đoán- Hiệu chỉnh.

Mô tả hình học phi chính thức


Xem xét bài toán tính toán hình dạng của một đường cong chưa biết bắt đầu tại một điểm cho trước và thỏa mãn một phương trình vi phân nào đó. Ở đây, phương trình vi phân có thể được coi như là một công thức mà nhờ nó độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong có thể được tính toán tại điểm bất kỳ nào trên đường cong, một khi vị trí của điểm đó đã được tính toán.

Ý tưởng là trong khi đường cong ban đầu chưa biết, điểm khởi đầu của nó được biểu thị bởi





A

0


,


{displaystyle A_{0},}

Minh họa tích phân số cho phương trình





y


=
y
,
y
(
0
)
=
1.


{displaystyle y’=y,y(0)=1.}

Với cùng minh họa cho trường hợp h = 0.25.

Như đã nói trong phần giới thiệu, phương pháp Euler sẽ chính xác hơn nếu kích thước bước




h


{displaystyle h}

Lời giải của phương trình





y


=

2.3
y


{displaystyle y’=-2.3y}

Hình tròn lớn màu hồng biểu diễn vùng ổn định đối với phương pháp Euler

Lời giải chính xác là




y
(
t
)
=

e


2.3
t




{displaystyle y(t)=e^{-2.3t}}

, phân rã về không khi




t




{displaystyle tto infty }

. Tuy nhiên, nếu phương pháp Euler được áp dụng cho phương trình này với kích thước bước




h
=
1


{displaystyle h=1}

, thì lời giải số là sai về mặt định tính: nó dao động và tăng (xem hình). Đây là những gì có nghĩa là không ổn định. Nếu kích thước bước nhỏ hơn được sử dụng, ví dụ




h
=
0.7


{displaystyle h=0.7}

, thì lời giải số không phân rã về không.

Nếu phương pháp Euler được áp dụng cho phương trình tuyến tính





y


=
k
y


{displaystyle y’=ky}

, thì lời giải số không ổn định nếu tích số




h
k


{displaystyle hk}

nằm bên ngoài vùng




{
z


C



|

z
+
1

|


1
}
,


{displaystyle {zin mathbf {C} mid |z+1|leq 1},}

được minh họa ở phía bên phải. Vùng này được gọi là vùng không ổn định (tuyến tính). Trong ví dụ,




k


{displaystyle k}

bằng -2,3, vì vậy nếu




h
=
1


{displaystyle h=1}

thì




h
k
=

2
,
3


{displaystyle hk=-2,3}

tức là nằm bên ngoài vùng ổn định, và do đó lời giải số là không ổn định.

Sự hạn chế này —cùng với việc hội tụ sai số chậm với h— làm cho phương pháp Euler không được sử dụng thường xuyên, ngoại trừ như một ví dụ đơn giản của tích phân số.

Các sai số làm tròn


Thảo luận từ trên đến giờ đã bỏ qua những hậu quả của sai số làm tròn. Trong bước n của phương pháp Euler, sai số làm tròn là xấp xỉ độ lớn εyn trong đó ε là Machine epsilon (giới hạn trên của sai số tương đối do làm tròn trong số học điểm nổi). Giả sử rằng các sai số làm tròn tất cả có kích thước xấp xỉ như nhau, sai số làm tròn tổng hợp trong N bước là xấp xỉ Nεy0 nếu tất cả các sai số chỉ về cùng hướng. Bởi vì số lượng bước tỉ lệ nghịch với kích thước bước h, tổng sai số làm tròn tỷ lệ thuận với ε / h. Trong thực tế, tuy nhiên, vô cùng khó xảy ra trường hợp tất cả các sai số làm tròn chỉ về cùng một hướng. Nếu thay vào đó giả định rằng các sai số làm tròn là các biến làm tròn độc lập, thì tổng sai số làm tròn tỷ lệ thuận với




ε

/



h




{displaystyle varepsilon /{sqrt {h}}}

.

Vì vậy, đối với những giá trị kích thước bước cực nhỏ, sai số cắt cụt sẽ nhỏ nhưng tác động của sai số làm tròn có thể lớn. Hầu hết các tác động của sai số làm tròn có thể dễ dàng tránh được nếu phép tổng đền bù (compensated summation) được sử dụng trong việc xây dựng công thức cho phương pháp Euler.

Hiệu chỉnh và mở rộng


Một hiệu chỉnh đơn giản của phương pháp Euler loại bỏ các vấn đề ổn định đã lưu ý trong phần trước là phương pháp Euler lùi lại (backward):





y

n
+
1


=

y

n


+
h
f
(

t

n
+
1


,

y

n
+
1


)
.


{displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).}

Phương pháp này khác với phương pháp Euler (tiêu chuẩn, hoặc tiếp tới) là hàm




f


{displaystyle f}

được đánh giá tại điểm cuối của bước, thay vì điểm xuất phát. Phương pháp Euler lùi lại là một phương pháp ẩn, có nghĩa là công thức của phương pháp Euler lùi lại có





y

n
+
1




{displaystyle y_{n+1}}

ở cả hai bên, vì vậy khi áp dụng phương pháp Euler lùi lại chúng ta phải giải một phương trình. Điều này làm cho việc thực hiện tốn kém (thời gian,…) hơn.

Những hiệu chỉnh khác của phương pháp Euler đối với sự ổn định đã đưa đến phương pháp Euler mũ hoặc phương pháp Euler bán ẩn.

Các phương pháp phức tạp hơn có thể đạt được bậc cao hơn (và chính xác hơn). Một khả năng đó là sử dụng nhiều hơn các đánh giá hàm. Điều này được minh họa bằng phương pháp điểm giữa đã được đề cập trong bài viết này:





y

n
+
1


=

y

n


+
h
f


(



t

n


+



1
2



h
,

y

n


+



1
2



h
f
(

t

n


,

y

n


)


)


.


{displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf{Big (}t_{n}+{tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}){Big )}.}

Điều này dẫn đến họ của các phương pháp Runge-Kutta.

Một khả năng khác là sử dụng nhiều hơn các giá trị quá khứ, như được minh họa bằng phương pháp Adams-Bashforth hai bước: 





y

n
+
1


=

y

n


+



3
2



h
f
(

t

n


,

y

n


)




1
2



h
f
(

t

n

1


,

y

n

1


)
.


{displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{tfrac {3}{2}}hf(t_{n},y_{n})-{tfrac {1}{2}}hf(t_{n-1},y_{n-1}).}

Điều này dẫn họ của các phương pháp đa bước tuyến tính.

Xem thêm


  • Phương pháp Crank–Nicolson
  • Sai số động lực của các phương pháp số áp dụng cho việc rời rạc hóa ODE
  • Phương pháp Gradient descent tương tự sử dụng các bước hữu hạn, để tìm ra cực tiểu của các hàm
  • Danh sách các phương pháp Runge-Kutta
  • Tích phân số (tính toán tích phân xác định)
  • Phương pháp số cho phương trình vi phân thường

Chú ý


Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button